Question

高数积分问题？

求解：∫(sinx-sin(x+a))^2.dx

Answer 1

展开后化简：

∫[sin^2(x)+sin^2(x+a)-2sin(x)sin(x+a)]dx

其中sin(x)sin(x+a)可化为1/2(cos(a)-cos(2x+a))，则积分变为：

∫[1/2-1/2cos(2x+a)+1/2-1/2cos(2x+2a)-2sin(x)1/2(cos(a)-cos(2x+a))]dx

化简后得：

x/2-sin(x)cos(a)/2+sin(2x+a)/4-sin(2x+2a)/4

带入x=0和x=π可得：

(π-sin(a)cos(a))/2

答案为 (π-sin(a)cos(a))/2

追问

其中sin(x)sin(x+a)可化为1/2(cos(a)-cos(2x+a)，对吗？
根据公式：sin(x)sin(y)=1/2cos(x-y)-1/2cos(x+y)
2sin(x)sin(x+a)=【cos(x-(x+a))-cos(x+(x+a))】=【cos(-a)-cos(2x+a)】
那么：∫【cos(-a)-cos(2x+a)】.dx
=∫cos(-a).dx-∫cos(2x+a).dx
=xsin(-a)-1/2sin(2x+a)
这个积分这样算对吗？

Answer 2

∫(sinx-sin(x+a))^2dx

=∫(sin^2x-2sinxsin(x+a)+sin^2(x+a))dx
2sinxsin(x+a)利用和差化积公式变成两个cos函数的和
其他两项用二倍角公式
然后就可以直接出来了

Answer 3

运用三角函数的倍角公式和积化和差解题，如下图片

追问

红色箭头那部分看懂了，下一步积分中间那部分没懂，能详说一下吗？谢谢！

追答

中间积分这一步具体如下