Question

已知函数f(x)=lg[(a^2-1)x^2+(a+1)x+1]

已知函数f(x)=lg[(a^2-1)x^2+(a+1)x+1],若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围

虽然可以找到很多类似的解答，但我觉得那样解是有误的，这个要求值域是R而不是定义域，希望您能给我答案！谢谢

Answer 1

值域为R则真数取到所有的正数
所以真数最小值小于等于0
因为如果最小大于0，则0和最小值之间的正数取不到
这样值域就不是R

a=1
则真数是2x+1,能取到所有的正数

a=-1
真数=1，不能取到所有的正数

a≠±1
二次函数取到所有的正数
则开口向上
a²-1>0,
a<-1,a>1

最小值小于等于0即和x轴有公共点
所以判别式大于等于0
a²+2a+1-4a²+4>=0
3a²-2a-5<=0
(a+1)(3a-5)<=0
-1<=a<=5/3
所以1<a<=5/3

综上
1≤x≤5/3

Answer 2

要求f(x)的值域为R，就是说定义域可以取0 - ＋∞之间的任何数
如果a^2-1<0,那么(a^2-1)x^2+(a+1)x+1有最大值，f(x)的值域不能为R
所以
1.
a^2-1>0 1)
△=(a+1)^2-4(a^2-1)≥0 2)
由1），2），得
1<a≤5/3

2.
a^2-1=0,a+1≠0
此时a=1

所以a的取值范围为1≤a≤5/3