Question

矩阵的特征值

Answer 1

矩阵的特征值如下：

若特征值a的重数是k，则 n-r(A) <= k。

设A为n阶矩阵，根据关系式Ax＝λx，可写出（λE－A）x＝0，继而写出特征多项式｜λE－A｜＝0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程（λiE－A）x＝0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

注意事项：

广义特征值：如果将特征值推广到复数领域，则广义特征值的形式为：Aν＝λBν

其中A和B是矩阵。通过求解方程(A-λB)ν=0得到广义特征值λ，行列式(A-λB)=0(其中行列式为行列式)形成矩阵集合，如A-λB。特征值中的复数名词叫做“铅笔”。

如果B是可逆的，那么原始的关系可以写成一个标准特征值问题。当B是一个不可逆矩阵（不能进行逆变换）时，广义特征值问题应按其原始形式求解。

矩阵特征值的性质：

性质1：若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

性质2：若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

性质3：设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1,2,…,m)，则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。