Question

泰勒公式能用于无穷大吗？

Answer 1

泰勒公式（Taylor series）是一种将一个函数表示为无穷级数的方法，可以在某一点的邻域内近似地表示函数。该级数通常在给定点的附近收敛，但并不意味着它在整个实数轴上都收敛。

当给定的函数在定义域内具有足够多的可导性时，泰勒公式可以用于近似计算。然而，在某些情况下，泰勒级数可能会出现发散的情况或者在某些点上不收敛。因此，在考虑泰勒级数的应用时，需要注意以下几点：

1. 收敛区间：泰勒级数的收敛区间是指级数在哪些点上收敛并能够表示原函数。泰勒级数的收敛区间取决于所使用的函数以及展开的点。

2. 边界效应：在某些点上泰勒级数可能存在边界效应，即级数在展开点附近收敛速度非常慢或者不能表示原函数。这可能发生在函数在展开点处的不可解析点或者奇点附近。

3. 截断误差：由于将级数截断到有限项进行近似计算，所得到的结果可能会存在误差。截断误差会随着截断项数目的增加而减小。

综上所述，泰勒公式可以应用于某些函数的近似计算，但在使用时需要注意收敛性和误差的问题。对于无穷大点，如果函数在该点附近具有足够多的可导性，并且级数在该点收敛，那么泰勒公式可能是适用的。然而，对于一些特殊情况，可能需要其他的近似方法来处理。

Answer 2

不能。

• 泰勒公式的皮亚诺余项是o(x^n) 

  x->∞时余项不是x^n的高阶无穷小，而是高阶无穷大，显然不再适用。

x趋于无穷时 x+x的正弦 再整体比x 极限是1，当x趋于无穷时 ，1/x 极限是0，而sinx显然是有界量，利用无穷小量乘有界量仍是无穷小量，因此在x趋于无穷时 (sinx)/x 极限是0而不是1，只有当x趋于0时 (sinx)/x 极限才是1。

使用泰勒公式，需要x非常小，于是x的高次项就更小了，小到可以忽略，才可以使用泰勒公式。所以如果要用，可以做一个变换u=1/x，x趋向于无穷，u趋向于0。

泰勒公式的皮亚诺余项是o(x^n) ，x->∞时余项不是x^n的高阶无穷小，而是高阶无穷大。

Answer 3

不歼山可以吧，因为侍斗泰氏谈中勒公式本身也有可能不收敛~