Question

什么是对称矩阵？

Answer 1

对称矩阵是一种特殊的方阵，其中对称轴两侧的元素相等。换句话说，如果以主对角线为中心，将矩阵划分为上下两个三角形，那么对称矩阵中的元素在这两个三角形中是对称的。
具体来说，对于一个n阶的对称矩阵A，当且仅当对于任意的i和j（1 ≤ i, j ≤ n），有A[i][j] = A[j][i]。也就是说，矩阵A的第i行第j列的元素等于第j行第i列的元素。
对称矩阵的一个重要性质是它们的特征值都是实数。此外，对称矩阵还具有许多其他重要的性质和应用，例如在线性代数、物理学、统计学和优化问题中经常使用对称矩阵。
以下是一个示例对称矩阵：
Copy CodeA = [[1, 2, 3],
[2, 4, 5],
[3, 5, 6]]

在这个示例中，矩阵A是一个3阶对称矩阵，因为它的元素满足A[i][j] = A[j][i]。

Answer 2

实对称矩阵：如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji）(i,j为元素的脚标)，则称A为实对称矩阵。

主要性质：

1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3、n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4、若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

对称矩阵性质：

1、对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。 

2、A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

3、对角矩阵都是对称矩阵。

4、两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。