在三角形ABC中，cosC=1/4,C=2,求a+b的取值范围
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在三角形ABC中，cosC=1/4,c=2
sinC=√(1-cos^C)=√15/4，
cos(C/2)=√[(1+cosC)/2]=√10/4，
A+B=π-arccos(1/4),
|A-B|/2<[π-arccos(1/4)]/2,
cos[(A-B)/2]>cos{[π-arccos(1/4)]/2}
=sin[arccos(1/4)/2]=sin(C/2)=√6/4，
由正弦定理，a+b=c(sinA+sinB)/sinC
=(16/√15)sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
=(16/√15）cos(C/2)cos[(A-B)/2]，
所以a+b≤4√6/3，且
a+b>2.
于是a+b的取值范围是(2,4√6/3].
sinC=√(1-cos^C)=√15/4，
cos(C/2)=√[(1+cosC)/2]=√10/4，
A+B=π-arccos(1/4),
|A-B|/2<[π-arccos(1/4)]/2,
cos[(A-B)/2]>cos{[π-arccos(1/4)]/2}
=sin[arccos(1/4)/2]=sin(C/2)=√6/4，
由正弦定理，a+b=c(sinA+sinB)/sinC
=(16/√15)sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
=(16/√15）cos(C/2)cos[(A-B)/2]，
所以a+b≤4√6/3，且
a+b>2.
于是a+b的取值范围是(2,4√6/3].
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