Question

已知圆c:x^2+y^2+2x-4y+1=0,O为坐标原点.动点p在圆c外

已知圆c:x^2+y^2+2x-4y+1=0,O为坐标原点.动点p在圆c外，过P作圆c的切线，设切点为m
1）若点p运动到（1,3），求此时切线L的方程
2)求满足条件PM=PO的点P的轨迹方程

Answer 1

解：
1）设切线L的方程为：y=kx+b，代入p点坐标得b=3-k，
所以直线方程为：y=kx+3-k
代入圆的方程得：
x^2+（kx+3-k）^2+2x-4（kx+3-k）+1=0，整理得
（k^2+1)x^2+(-2k^2+2k+2)x+(k^2-2k-2)=0，
令△=2^2(-k^2+k+1)^2-4(k^2+1)[k^2-2(k+1)]=0，解得k=-3/4
所以L的方程为：y=-3x/4+9/4
因为过圆外一点圆的切线有2条，当切线平行Y轴时，斜率没有意义。
所以另一条切线为x=1
因此L的方程为：x=1，y=-3x/4+9/4
2）圆c:x^2+y^2+2x-4y+1=0的标准方程为：（x+1）^2+(y-2)^2=4
圆心C的坐标为（-1，2）
设p点坐标为（x,y)，PM^2=CP^2-r^2，整理得
PM^2=CP^2-r^2=（x+1）^2+(y-2)^-4=x^2+y^2+2x-4y+1
PO^2=x^2+y^2
因为PM=PO，所以PM^2=PO^2
x^2+y^2+2x-4y+1=x^2+y^2，整理得
2x-4y+1=0
圆心到直线2x-4y+1=0的距离为：
|-1×2-2×4+1|/√(2^2+4^2)=9√5/10＞r=2
所以P的轨迹方程为：
2x-4y+1=0

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