Question

已知f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点，则实数a的取值范围？ 求特殊解法，用到 a

=(lnx+1)/x

Answer 1

根据极值点与导函数的关系，意思就是说这个函数的导函数在定义域内穿过X轴两次

原函数求导后f‘(x)=lnx-2ax+1 意思是说，令这个导函数=0即构造方程lnx-2ax+1=0有两个不同解
另g(x)=lnx-2ax+1 g'(x)=1/x-2a 令g'(x)=0得x=1/2a 定义域为x∈(0,正无穷）
1、当a小于或0时显然g’(x)大于0恒成立，此时g(x)=lnx-2ax+1单调递增，不可能穿过x轴两次，不成立！
2、a大于0时，g(x)在(0,1/2a)递增，在(1/2a,正无穷)递减，且x趋近于0与x趋近于正无穷是g(x)均趋近于负无穷，故要使g(x)有两个不同解，只需g(1/2a )大于0即可，代入后即ln(1/2a)＞0
结合上述a大于0可解得a属于(0,1/2)