Question

高一函数

证明：已知函数y=x+a/x，a>0,则该函数在（0，根号a）是减函数，在大于或等于根号a时是增函数

Answer 1

y= x+ a/x =(x^2-a)/x

任取0<x1<x2<√a

y1-y2
=(x1^2-a)/x1 -(x2^2-a)/x2
=(x2*(x1^2-a)-x1*(x2^2-a))/x1x2
=(x1x2(x1-x2)-a(x1-x2))/x1x2
=((x1x2-a)(x1-x2))/x1x2

因为 0<x1<x2<√a

x1x2< √a *√a =a
x1x2-a <0
(x1x2-a)(x1-x2) >0

所以y1>y2 在（0，√a）是减函数

同理在 [√a,无穷)是减函数

Answer 2

用基本不等式
a>0,又x>0
x+a/x>=2*根号下（x*a/x)
当x=a/x时，取到等号（即函数取到最小值）
所以x=根号a时函数在（0，+无穷)取到最小值
所以在（0,根号a)是减函数，在……是增函数