Question

不等式证明

不用导数,怎么证.

Answer 1

证明：
(1)当0<x<1时，x-1<0，则原不等式两边同时除以x-1,等价于：(x+1)lnx<=x-1
<=>lnx<=(x-1)/(x+1)
<=>lnx-(x-1)/(x+1)<=0
构造函数f(x)=lnx-(x-1)/(x+1),f'(x)=1/x-2/(x+1)^2=(x^2+1)/(x+1)^2>0
于是f(x)在(0,1)上单调递增，于是f(x)<f(1)=0
即当0<x<1时(x^2-1)lnx>=(x-1)^2成立。
(2)当x=1时，该不等式即为0<=0显然成立。
(3)当x>1时，不等式两边同时除以x-1,等价于(x+1)lnx>=(x-1)
<=>lnx>=(x-1)/(x+1)
<=>lnx-(x-1)/(x+1)>=0
仍然可构造(1)中的函数f(x)=lnx-(x-1)/(x+1),也知f'(x)=(x^2+1)/(x+1)^2>0
f(x)在(1,+∞)也单调递增。于是f(x)>f(1)=0
即当x>1时，(x^2-1)lnx>=(x-1)^2成立。

综合(1)(2)(3)知(x^2-1)lnx>=(x-1)^2对x>0都成立。