Question

几何 解答题

已知斜三棱锥ABC—A1B1C1，∠BCA=90度，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1。

（1）求证：AC1⊥平面A1BC；

（2）求CC1到平面A1AB；

（3）求二面角A—A1B—C的大小。

Answer 1

1、证明：
∵A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D
∴A1D⊥平面ABC
∴A1D⊥BC
∵BC⊥AC
∴BC⊥平面ACC1A1
∴BC⊥AC1
∵BA1⊥AC1，AC1、AB相交于A
∴AC1⊥平面A1BC
2、解由AC1⊥平面A1BC
得AC1⊥A1C
∴四边形ACC1A1为菱形
∴AC=AA1=2
V(A1-ABC)=1/3*1/2*2*2*(根号3）
V（C-AA1B)=1/3*1/2*(2根号2）*（（根号14）/2）*H
H=根号(12/7)
H即为C到平面AA1B的距离
由CC1‖平面AA1B
∴CC1到平面A1AB的距离为根号(12/7)
3、解由AC1⊥平面A1BC
设AC1交A1C于O
在平面A1BC中过O作OP⊥A1B，连接AP
∵AC1⊥平面A1BC，且OP⊥A1B
∴∠APO=二面角A—A1B—C
∵BC⊥平面ACC1A1
∴BC⊥A1C
∵四边形ACC1A1为菱形
∴OP=(根号1/2）A1O=(根号1/2）A1C/2=(根号1/2）
AO=（根号3）A1O=（根号3）A1C/2=（根号3）
tg∠APO=AO/OP=根号6
则∠APO=arctg（根号6）