Question

设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=e^X-ax，其中a 为实数． （1）若f（x）在（2，+

设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=e^X-ax，其中a 为实数． （1）若f（x）在（2，+∞）上是单调减函数，且 g（x）在（2，+∞）上有最小值，求a的取值范 围； （2）若g（x）在（0，+∞）上是单调增函数， 试求f（x）的零点个数，并证明你的结论

Answer 1

设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=e^X-ax，其中a 为实数．（1）若f（x）在（2，+∞）上是单调减函数，且 g（x）在（2，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（0，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论

（1）解析：∵函数f(x)=lnx-ax，其定义域为x>0
令f’(x)=1/x-a=0==>x=1/a
f’’(x)=-1/x^2<0，
∴当a>0时，f(x)在x=1/a处取极大值；当a<=0时，f(x)单调增；
∵g(x)=e^X-ax，其定义域为R
令g’(x)=e^x-a=0==>x=lna
g’’(x)=e^x>0，
∴当a>0时，g(x)在x=lna处取极小值；当a<=0时，f(x)单调增；
∵f（x）在（2，+∞）上是单调减函数，且 g（x）在（2，+∞）上有最小值
令1/a<=2==>a>=1/2
Lna>2==>a>e^2
取二者交，a>e^2
∴a的取值范围为a>e^2

（2）解析：∵g（x）在（0，+∞）上是单调增函数
令lna<=0==>a<=1；f(x)=lnx-ax=0==>x=e,a=1/e
∴当1/e<a<=1时，f(x)无零点；
当1/e=a或a<=0时，f(x)有一个零点；
当0<a<1/e时，f(x)有二零点；