Question

证明不等式，不要用凸函数的知识

Answer 1

先将原不等式a*b≤1/p*a^p+1/q*b^q进行转化：
由于b>0，将原不等式两边同除b^q，得a*b^(1-q)≤1/p*a^p/b^q +1/q
∵1/p+1/q=1，∴q/p+1=q，则1-q=-q/p
故a*b^(-q/p)≤1/p*a^p/b^q+(1-1/p)
即(a^p/b^q)^(1/p)≤1/p*a^p/b^q+(1-1/p)
令t=1/p，x=a^p/b^q，则0<t<1，x>0
有x^t≤t*x+(1-t) ①
要证原不等式成立等价于证明①式成立

令F(x)= x^t-t*x-(1-t)，其中0<t<1，x>0
则F’(x)=t*x^(t-1)-t=t*[x^(t-1)-1]
由F’(x)=0，得驻点x=1
当0<x<1时，F’(x)>0
当x>1时， F’(x)<0
故F(1)为最大值，有F(x)≤F(1)=0
即x^t≤t*x+(1-t)，故原不等式成立