Question

已知方程x²+y²+4x-2y-4=0，求x²+y²的最大值

谢谢各位了 要详细的解答过程哦

Answer 1

x²+y²+4x-2y-4=0
x²+4x+4+y²-2y+1=9
(x+2)²+(y-1)²=3²
是圆心为(-2,1)，半径为3的圆
圆心到原点的距离为√5
圆上点(x,y)到原点的最大距离为√5+3
所以√(x²+y²)的最大值是√5+3
即x²+y²的最大值是(√5+3)²=14+6√5

Answer 2

x²+y²+4x-2y-4=0，
(x+2)²+(y-1)²=4+4+1=9，
引入参数方程
x=-2+3cosc, y=1+3sinc
于是
x²+y²＝(-2+3cosc)²+(1+3sinc)²
＝(4-12cosc+9cos²c)+(1+6sinc+9sin²c)
=6sinc-12cosc+5+9(cos²c+9sin²c)
=6(sinc-2cosc)+14
=6sqrt(5)sin(c-arctna(2))+14
当c=arctna(2)+pi/2时，x²+y²取最大值，
最大值为6sqrt(5)+14

Answer 3

配方：(x+2)^2+(y-1)^2=9
这是一个圆心P（-2，1），半径为3的圆
x^2+y^2表示圆周上的点到原点O的距离的平方，最大值在连接OP的直线上
OP=√(2^2+1^2)=√5
因此√(x^2+y^2)的最大值即为3+√5
故x^2+y^2的最大值为(3+√5)^2=14+6√5

追问

为什么最大值在连接op的直线上，还有最大值为什么要在加上半径啊？ 麻烦了

追答

你作一个圆，及圆内一点。将此点与圆心作直线。
则此点到圆上最大最小值都在这条直线上。
且最大值即为r+d, 最小值即为r-d
这里d就是此点与圆心的距离

Answer 4

X，Y的分布是一个以 -2，1为原点的圆 (x+2)2+(y-1)2=9 半径是3.。。。x2+y2是这个轨迹上离直角坐标原点最远的点。。。 就这样。。