Question

有关高数的问题

请问函数f（x）在满足什么条件时，f（x）一定存在或者一定不存在原函数？
我知道有一个充分条件，就是当f（x）连续时一定存才原函数，当f（x）存在第一类间断点时，一定不存在原函数，不知道我说的是不是全了，如果还有，请高手帮忙列举，谢谢

Answer 1

一、连续函数必有原函数。
二、函数不连续时，由达布定理知，若一个不连续的函数存在原函数，那么这个函数的间断点一不是可去间断点，二不是跳跃间断点，三不是无穷间断点，只能是震荡间断点。
三、具有震荡间断点的不连续函数，不一定存在原函数，如分段函数
f(x)=(1/x)*(sin1/x)，（当x不等于0时）；f(x)=0，（当x=0时）。该分段函数f(x)存在震荡间断点x=0，但f(x)在任一包含x=0点的区间[a，b]上都不存在原函数。
至于存在震荡间断点的函数什么情况下能存在原函数，这超出了高数范围，无法为你解答。

Answer 2

当f(x)在单连通域B内解析或有可去奇点时，原函数一定存在