Question

如图，AD为三角形ABC中BC边上的中线，角ADB角ADC的平分线分别交AB.AC于E.F求证:B

如图，AD为三角形ABC中BC边上的中线，角ADB角ADC的平分线分别交AB.AC于E.F求证:BE+CF>EF

Answer 1

证明：
延长FD到G，使DG=FD，连接BG
∵BD=CD【AD为三角形ABC中线】
∠BDG=∠CDF【对顶角相等】
∴⊿BDG≌⊿GDF（SAS）
∴BG=CF
∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=½∠ADB+½∠ADC=90º
∴∠EDG=90º=∠EDF
又∵DE=DE，DG=DF
∴⊿EDG≌⊿EDF（SAS）
∴EF=EG
在⊿BGE中
BG+BE＞EG
∴BE+CF＞EF

追问

怎么做

追答

1：解析：在三个条件中，（1）、（2）是角，还有一对对顶角∠BOE＝∠COD，所以，实际给了三对相等的角，要证明三角形全等，还得至少一个边，也就是条件中的（3），结果：
可以判定△ABC是等腰三角形的条件：（1）、（3）或（2）、（3）
2、证明：
第一个：（1）∠EBO＝∠DCO；（3）BE＝CD
∵∠EBO＝∠DCO，∠BOE＝∠COD，BE＝CD
∴△BOE≌△COD （AAS）
∴BO＝CO
∴∠OBC＝∠OCB
∵∠ABC＝∠EBO+∠OBC，∠ACB＝∠DCO+∠OCB
∴∠ABC＝∠ACB
∴AB＝AC
∴等腰△ABC
第二个：（2）∠BEO＝∠CDO；（3）BE＝CD
∵∠BEO＝∠CDO，∠BOE＝∠COD，BE＝CD
∴△BOE≌△COD （AAS）
∴BO＝CO，∠EBO＝∠DCO
∴∠OBC＝∠OCB
∵∠ABC＝∠EBO+∠OBC，∠ACB＝∠DCO+∠OCB
∴∠ABC＝∠ACB
∴AB＝AC
∴等腰△ABC

追问

追答

解：（1）∵AC⊥BC，且AC=BC，边EF与边AC重合，且EF=FP．
∴△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠CAP=45°，AB=AP，
∴∠BAP=90°，
∴AP=AB，AP⊥AB；
（2）延长BO交AP于H点，如图2
∵∠EPF=45°，
∴△OPC为等腰直角三角形，
∴OC=PC，
∵在△ACP和△BCO中

AC＝BC
∠ACP＝∠BCO
CP＝CO
∴△ACP≌△BCO（SAS），
∴AP=BO，∠CAP=∠CBO，
而∠AOH=∠BOC，
∴∠AHO=∠BCO=90°，
∴AP⊥BO，
即BO与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直；

（3）BO与AP所满足AP=BO，AP⊥BO．理由如下：
延长BO交AP于点H，如图3，
∵∠EPF=45°，
∴∠CPO=45°，
∴△CPO为等腰直角三角形，
∴OC=PC，
∵在△APC和△OBC中，

AC＝BC
∠ACP＝∠BCO
CP＝CO
∴△APC≌△OBC（SAS），
∴AP=BO，∠APC=∠COB，
而∠PBH=∠CBO，
∴∠PHB=∠BCO=90°，
∴BO⊥AP，
即BO与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直．

追问

追答

考点：全等三角形的判定与性质．分析：仔细分析题意，若能证明△ABF≌△GCA，则可得AG=AF．在△ABF和△GCA中，有BF=AC、CG=AB这两组边相等，这两组边的夹角是∠ABD和∠ACG，从已知条件中可推出∠ABD=∠ACG．在Rt△AGE中，
∠G+∠GAE=90°，而∠G=∠BAF，则可得出∠GAF=90°，即AG⊥AF．
解答：解：AG=AF，AG⊥AF．
∵BD、CE分别是△ABC的边AC，AB上的高．
∴∠ADB=∠AEC=90°
∴∠ABD=90°-∠BAD，∠ACG=90°-∠DAB，
∴∠ABD=∠ACG
在△ABF和△GCA中 BF=AC ∠ABD=∠ACG AB=CG ．
∴△ABF≌△GCA（SAS）
∴AG=AF
∠G=∠BAF
又∠G+∠GAE=90度．
∴∠BAF+∠GAE=90度．
∴∠GAF=90°
∴AG⊥AF．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；要求学生利用全等三角形的判定条件及等量关系灵活解题，考查学生对几何知识的理解和掌握，运用所学知识，培养学生逻辑推理能力，范围较广．

追问

追答

△EDC全等于△ED'C,CD=CD'=AB=10
在三角形D'CB中，D'C=10,BC=AD=6,勾股定理得D'B=8,所以AD'=AB-D'B=2
△AED'相似△D'BC,所以ED'/AD'=D'C/BC
即 ED'/2=10/6
推出ED'=10/3=ED
DE=10/3

追问

追答

∵∠A+∠ABE=∠CEB ∠D+∠DCE=∠CEB
∴∠CEB=∠DCE
∵∠A=∠D，AB=DC ∠CEB=∠DCE
∴△ABE ≌ △DCE

∵△ABE ≌ △DCE
∴AE+EC=DE+EB
∴AC=DB
∵AC=DB ∠A=∠D，AB=DC
∴△ABC ≌ △DCB
∴∠EBC=∠ECB
∵∠AEB=∠EBC+∠ECB ∠EBC=∠ECB ∠AEB=50°
∴∠EBC=25°

追问

追答

∵点A和点E关于BD对称
∴EB=AB，ED=AD
△EDB≌△ADB
∴∠EBD=∠DBA
∵点B和点C关于DE对称
∴CE=BE
且∠CED=∠BED=90°
∴△CED≌△BED
∠C=∠EBD=1/2∠ABC
=90/3=30°
∠ABC=60°

追问

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你特么的不会自己做，不给了

追问

我不会

就两题了

追答

题目写下来，看不清图太小了

追问

追答

（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，
∵E为AB的中点，∴AE=BE，
在△AED和△BFE中，

∠ADE=∠EFB

∠AED=∠BEF
AE=BE
∴△AED≌△BFE（AAS）；
（2）解：EG与DF的位置关系是EG⊥DF，
理由为：连接EG，
∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE，
∴∠GDF=∠BFE，
由（1）△AED≌△BFE得：DE=EF，即GE为DF上的中线，
∴GE⊥DF．