Question

已知∠ACD=90°,AC=DC,MN是过点A的直线,DB⊥MN于点B,CE⊥CB与C点，交MN与

点E(1)请说明:△ACE≌△DCB; (2)请你探索线段BD,AB,CB间的等量关系（3）当∠BCD=30°，BD=根号2时，求CD和CB的值

Answer 1

1）如图（2）：AB-BD=根号2CB．
证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=根号2CB．
又∵BE=AB-AE，
∴BE=AB-BD，
∴AB-BD=根号2CB．

追答

BD-AB=根号2 CB．
证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFB，∠D=90°-∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=根号2CB．
又∵BE=AE-AB，
∴BE=BD-AB，
∴BD-AB=根号2CB．

易证△ACE≌△DCB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴∠AEC=45°=∠CBD，
过D作DH⊥CB．则△DHB为等腰直角三角形．
BD=根号2BH，
∴BH=DH=1．
直角△ECB中，∠DCH=30°，
∴CD=2DH=2，CH=根号3．
∴CB=根号3+1