Question

高中数学必修二空间几何，空间四边形证明

已知空间四边形ABCD，H,E分别是AD,AB边中点，G,F分别是DC,BC边的点。CG/CD=CF/BC=2/3.求证HG,AC,FE三条直线相交与一点。急！

Answer 1

做辅助线：连接BD
由条件可知：EH//BD FG//BD
则EH//FG
所以EF，HG是在同一平面内
而在△ABC中，E是AB的中点，但F不是BC的中点
所以，EF肯定不平行于AC则EF肯定与AC相交于一点
同理，AC肯定与HG相交于一点而EF，HG又在同一平面内
也就是说，AC与EF，HG所确定的平面相交于一点一直线与一平面相交，有且只有一个交点
所以，EF，HG，AC交于一点

Answer 2

因为FE，AC都在平面ABC上，且不平行

所以设他们交与点O

同理 设HG和AC交与点O‘

分别求出O和O’到点A的距离，既可以判断O和O‘重合

所以三线交与点O

至于求距离，三角形ABC和三角形ACD分别作AC边的中位线

然后利用三角形相似，可以求出O和O’到A点的距离都是AC的长

Answer 3

∵在△ABD中，AH/AD=AE/AB=0.5

∴HE//BD

∵在△CBD中，CG/CD=CF/CB=2/3

∴GF//BD

∴HE//GF

∴GH与FE在同一平面内

∵EH≠GF

∴GH与EF不平行，GH与FE交于一点

又∵BE/AB≠BF/BC,

∴EF不平行于AC

同理，GH不平行于AC

∴GH交AC于一点，FE交AC于一点

又∵AC,HG,FE不在同一平面内

∴三条直线相交于同一点