Question

问一道几何证明题

如图，△ABC中，D，E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA，交AE于点F，DF=AC。求证：AE平分∠BAC

Answer 1

这道题目用正弦定理。
由于∠DEF与∠AEC互补，所以它们的正弦值相等。即sin∠DEF=sin∠AEC又因为DF=AC所以有DF/sin∠DEF=AC/sin∠AEC。
又因为在三角形DEF中有：DE/sin∠DFE=DF/sin∠DEF。
三角形AEC中有DF/sin∠DEF=EC/sin∠EAC。
二者联立可得：DE/sin∠DFE=EC/sin∠EAC，又条件DE=EC，得知sin∠DFE=sin∠EAC,从而∠DFE=∠EAC。
又DF//BA，所以∠BAE=∠DFE，所以可得∠BAE=∠EAC，即AE平分∠BAC。

Answer 2

DF//AB,所以BE/AB=DE/DF=EC/AC
BE/AB=EC/AC
所以，AE为角BAC的平分线

Answer 3

提示：过D点作DG平行AF，得AG=FD，则三角形AGC为等腰三角形，接下来只要证明H点为GC的中点（EH为三角形CGD的中位线），再根据三线合一就能证明了