Question

已知函数f(x)=e^x-kx^2（x∈R） (1)若K=1

已知函数f(x)=e^x-kx^2（x∈R）
(1)若K=1/2，求证：当x∈(0,+∞)时，f(x)＞1
(2)若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，试求k的取值范围

Answer 1

解你好第一问是当x∈(0,+∞)时，f'(x)＞1

1由k=1/2,
则f(x)=e^x-1/山搜2x^2

求导得f'(x)=e^x-x（x＞0）
令y=g（x）=e^x-x（x＞0）
求导得g'(x)=e^x-1
又由x＞0，知g'(x)=e^x-1＞0
即f'(x)=e^x-x在x属于（0，正无穷大）时，f'（x）是增前森函数
而f'(0)=e^0-0=1＞0
即x属于（0，正无穷大）时，f'（x）＞f'(0)=1
2由f(x)在区间(0,+∞)上单调递增

故f'(x)≥0对x属于(0,+∞)上恒成立
即e^x-2kx≥0对x属于(0,+∞)上恒成立
即2kx≤e^x对x属于(0,+∞)上恒成立
即2k≤e^x/x对x属于(0,+∞)上恒成立
构造函数h（x）=e^x/x x属于(0,+∞)
求导得h'(x)=(xe^x-e^x)/x^2
=(x-1)e^x/x^2
易知当x＞1时，h'(x)＞0
当0＜x＜1时，h'(x)＜0
故x=1时，h（x）有最小慧唯亩值h（1）=e
故2k≤e
即k≤e/2。

Answer 2

化简1/x(x+1) + 1/(x+1)(x...