Question

已知f(x)是奇函数,且有f(x+1)=-1/f(x),当x∈(0,1/2)时,f(x)=8^x

设f(x)是奇函数，且f(x+1)=1/f(x)，当0<x<1/2时,f(x)=8^x
(1)求f(-1/3) f(2/3) f(5/3)

(2)当2k+1/2<x<2k+1(k∈Z)时，求f(x)的表达式

(3)是否存在这样的自然数k,使得当2k+1/2<x<2k+1(k∈Z)，log8f(x)>x^2-（k+3）x-k+2有解？说明理由

求好人= =。 第一问就懵掉了0.0

Answer 1

(1)f(-1/3)=-f(1/3)=-8^(1/3)=-2，
f(2/3)=-1/f(-1/3)=1/2
f(5/3)=-1/f(2/3)=-2
(2)f(x+2)=-1/f(x+1)=f(x)，f(x)周期为2
当2k+1/2<x<2k+1(k∈Z)时，1/2<x-2k<1，-1/2<x-2k-1<0，0<2k+1-x<1/2
f(x)=(x-2k)=-1/f(x-2k-1)=1/f(2k+1-x)=1/8^(2k+1-x)=8^(x-2k-1)
(3)log8f(x)>x^2-（k+3）x-k+2，即x-2k-1>x^2-(k+3)x-k+2
x^2-(k+4)x+k+3<0，解得：1<x<k+3
所以k+3≥2k+1，即k≤2，所以k为1，2时符合题意(k=0时无解）。