Question

x开三次方的函数在0处为什么不可导？

Answer 1

x开三次方的函数表示为 f(x) = ∛x。当我们考虑在 x=0 处对函数 f(x) 进行导数时，存在一个问题。
首先，我们可以计算 f(x) 的导数。对 f(x) = ∛x 应用导数的定义，我们有：
f'(x) = lim(h0) [f(x+h) - f(x)] / h
代入 f(x) = ∛x，得到：
f'(x) = lim(h0) [(∛(x+h) - ∛x) / h]
现在我们将 x=0 代入上述表达式:
f'(0) = lim(h0) [(∛h - ∛0) / h]
在这里，我们遇到一个问题。当我们尝试计算 (∛h - ∛0) / h 时，分子中的 (∛h - ∛0) 会变成不可约简的形式，这是因为在 h=0 处开立方根是无意义的。
因此，在 x=0 处，由于 (∛h - ∛0) / h 无法简化，我们无法得到定义良好的导数值。这说明在 x=0 处，x开三次方的函数不可导。
换句话说，x开三次方的函数在 x=0 处的导数不存在，因此不可导。这是因为在此点附近，函数的斜率变化异常，没有一个明确定义的切线可以用来表示导数。