Question

求解一道理论力学题，需要详细过程，谢谢！

Answer 1

这题不求约束力，主动力只有一个mg（有势力），用拉格朗日氏方程解比较方便。

一个自由度，一个广义坐标φ，主动力只有一个mg，是有势力。

圆轮的动能包括广义速度φ'下的轮心的动能和轮转动的动能；

轮心速度v=(R-r)φ',轮只滚不滑，轮的角速度ω=v/r=(R-r)φ'/r

 

 T=m(R-r)^2φ'^2/2+(mr^2/2)((R-r)φ'/r)^2/2

 =(3/4)m((R-r)^2)φ'^2

轮子处于以圆弧面最低点为势能零点，

广义坐标φ下的mg的势能 

 V=mg(R-r)(1-cosφ)

拉格朗日函数

 L=T-V=(3/4)m((R-r)^2)φ'^2-mg(R-r)(1-cosφ)

 

 求各导数

 

设ω^2=((8/3)/(R-r))g,

 φ''+ω^2sinφ=0   当φ为微小值时 sinφ=φ 此时，

 φ''+ω^2φ=0

这是简谐振动微分方程

通解是：

φ=Asin(ωt+a)

φ'=Aωcos(ωt+a)

φ''=-Aω^2sin(ωt+a)

根据初始条件 t=0 , φ=φ0,φ'=0  求出

振幅A=φ0，初相位a=π/2