Question

几道高中数学题。。高手请进。。

一.若x，y满足x+2y-3≤0，x+3y-3≥0，y-1≤0.若目标函数z=ax+y（
a＞0）在点（3,0）处取最大值，则a的取值范围是什么？

二.已知ui任意角a都有y=-sina的平方-2msina-2m-1恒小于0，试求实数m的取值范围。

三.已知tana，cota是关于x的方程3x的平方-3kx+3k的平方-13=0的两实根，且x∈（3π，7/2π），试求cos（3π+a)+sin(3π+a）的值。

四.已知0≤x≤π/2,求函数y=cosx的平方-2acosx-a的平方的最大值m（a）与最小值m（a）

Answer 1

1．x+2y-3=0，x+3y-3=0，y-1=0，两两联立解得x1=3,y1=0；x2=1,y2=1；x3=0,y3=1
满足约束条件x+2y-3≤0，x+3y-3≥0，y-1≤0的点在由点(3,0),(1,1),(0,1)围成的三角形区域内
∵目标函数z=ax+y（a＞0）, 在点（3,0）处取最大值
Z1=3a, z2=a+1,z3=1
3a>a+1==>a>1/2，3a>1==>a>1/3
∴a∈(1/2,+∞)

2．∵y=-sin²a-2msina-2m-1
设F(x)=-(sinx)^2-2msinx-2m-1
F’(x)=-2(sinx)cosx-2mcosx=-2cosx(sinx+m)=0
Cosx=0==>x1=2kπ-π/2, x2=2kπ+π/2, 函数f(x)取极小值
sinx=-m==>x3=arcsin(-m),x4=π-arcsin(-m) , 函数f(x)取极大值
F(-m)=m^2-2m-1<0==>1-√2<m<1+√2
∴1-√2<m<=1时，F(x)=-(sinx)^2-1，满足F(x)恒小于0
当m>1时，
Cosx=0==>x1=2kπ-π/2, x2=2kπ+π/2
F”(x)=-2cos2x+2msinx
F”(-π/2)=2-2m<0，函数f(x)取极大值F(-π/2)=-2＜0
F”(π/2)=2+2m>0，函数f(x)取极小值
∴m＞1时，满足F(x)恒小于0
综上当m∈(1-√2,+ ∞), 满足F(x)恒小于0

3．∵tanα，cotα是方程3x^2-3kx+3k^2-13=0的两根
∴tanα*cotα=(3k^2-13)/3=1，解得k=±(4√3)/3
又3π<α<7π/2，α为第三象限角，则tanα>0
∴tanα+cotα=k>0
取k=(4√3)/3
tanα+1/tanα=(4√3)/3，解得tanα=√3或√3/3
当tanα=√3时，sinα=-√3/2，cosα=-1/2
当tanα=√3/3时，sinα=-1/2，cosα=-√3/2
∴cos(3π+α)+sin(π+α)=-cosα-sinα=(√3+1)/2

4、∵0≤x≤π/2
设函数f(x)= cos^2x-2acosx-a
令f’(x)= -2cosxsinx+2asinx=0
-2sinx(cosx-a)=0 a∈[-1,1]
sinx=0==>x1=2kπ, x2=2kπ+π, 函数f(x)取极大值
f(0)= 1-3a，f(π)= 1+a
cosx=a==>x3=2kπ-arccosa,x4=2kπ+arccosa , 函数f(x)取极小值
f(-arccosa )=-a^2-a，f(arccosa )=-a^2-a
当a>1时
sinx=0==>x1=2kπ, x2=2kπ+π
f”(x)= -2cos(2x)+2acosx
f”(0)=2a-2>0, 函数f(x)取极小值f(0)＝1-3a；
f”(π)=-2a-2<0, 函数f(x)取极大值f(π)＝1+a
当a<-1时
sinx=0==>x1=2kπ, x2=2kπ+π
f”(x)= -2cos(2x)+2acosx
f”(0)=2a-2<0, 函数f(x)取极大值f(0)＝1-3a；
f”(π)=-2a-2>0, 函数f(x)取极小值f(π)＝1+a
综上：
a∈[-1,1]时，
x1=2kπ, x2=2kπ+π，函数f(x)取极大值，f(0)= 1-3a，f(π)= 1+a
cosx=a==>x3=2kπ-arccosa,x4=2kπ+arccosa , 函数f(x)取极小值
f(-arccosa )=f(arccosa )=-a^2-a
当a>1时，x1=2kπ, 函数f(x)取极小值f(0)＝1-3a； x2=2kπ+π，函数f(x)取极大值f(π)＝1+a
当a<-1时，x1=2kπ, 函数f(x)取极大值f(0)＝1-3a； x2=2kπ+π，函数f(x)取极小值f(π)＝1+a

Answer 2

1、
根据那3条件 在二维坐标图里画出 得
x，y的范围就是一个三角形 顶点为（0，1）（1，1）（3，0）

那么从图里可以得出想要的结果
显然：
斜率>=0时都不行
斜率<0时只有比-1/2(就是x+2y-3=0直线的斜率）陡或相同时 也就是斜率<=-1/2时 即-a<=-1/2
最终：a>=1/2

2、不懂- -

3、∵tanα，1/tanα是方程3x2-3kx+3k2-13=0的两根

∴tanα×1/tanα=(3k2-13)/3=1，解得k=±(4√3)/3

又∵3π<α<7π/2，则tanα>0

∴tanα+1/tanα=k>0

∴k=(4√3)/3

∴tanα+1/tanα=(4√3)/3，解得tanα=√3或√3/3

∴sinα=-√3/2，cosα=-1/2或sinα=-1/2，cosα=-√3/2

∴cos(3π+α)+sin(π+α)=-cosα-sinα=(√3+1)/2

4、
令t=cosx,t∈[0,1]
所以y=cos^2x-2acosx
=t^2-2at
=(t-a)^2-a^2
当a≤0时，M=f(1)=1-2a,m=f(0)=0-
当0<a<1时，M=f(0)=0,m=f(a)=-a^2
当a≥1时,M=f(0)=0,m=f(1)=1-2a

Answer 3

2,开口向下，恒小于0,则图像与x轴没有交点
Δ=4m²-4(2m+1)<0,解得1-√<m<1+√2