Question

泰勒公式的推导过程？

Answer 1

泰勒展开式是将一个函数表示成一组无穷级数的形式，它可以用来近似计算函数在某一点的值，以及分析函数的性质。以下是一些常用的泰勒展开公式：
自然指数函数 e^x 的泰勒展开式：
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... + x^n/n! + ...
正弦函数 sin(x) 的泰勒展开式：
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... + (-1)^n * x^(2n+1)/(2n+1)! + ...
余弦函数 cos(x) 的泰勒展开式：
cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ... + (-1)^n * x^(2n)/(2n)! + ...
对数函数 ln(1+x) 的泰勒展开式：
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ... + (-1)^(n+1) * x^n/n + ...
指数函数 a^x (其中 a>0) 的泰勒展开式：
a^x = 1 + xln(a) + (xln(a))^2/2! + (xln(a))^3/3! + ... + (xln(a))^n/n! + ...
幂函数 (1+x)^n 的泰勒展开式：
(1+x)^n = 1 + nx + n(n-1)x^2/2! + n(n-1)(n-2)x^3/3! + ... + n(n-1)...(n-r+1)x^r/r! + ...