Question

求3题数学题。。（初一）请求讲解。急~

1.已知x^4-6x^3+13x^2+kx+4是一个完全平方公式，求常数k的值，并将X^4-6x^3+13x^2+kx+4分解因式。

2.设x^2+mx+n（m，n是整数）既是x^4-3x^2+9的因式，也是3x^4-17x^2+24x+3的一个因式，当x=1时，求x^2+mx+n的值

3.k取何值时，x^2+7xy+ky^2-5x+43y-24可以分解为两个一次式的积？

拜托咯

Answer 1

设x^4-6x^3+13x^2+kx+4
=(x^2-mx+n)^2
=x^4-2mx^3+(m^2+2n)x^2-2mnx+n^2,
对比系数知，
2m=6,
n^2=4,
m^2+2n=13,
-2mn=k,
解得，
m=3，
n=2，
k=-12

x^4-6x^3+13x^2+kx+4
=x^4-6x^3+13x^2-12x+4
=(x^2-3x+2)^2

因为x^2+mx+n是x^4-3x^2+9的因式
所以x^4-3x^2+9=A(x^2+mx+n)........1
同理
3x^4-17x^2+24x+3=B(x^2+mx+n)...........2
2式-1式*3得
3x^4-17x^2+24x+3-3x^4+9x^2-27=(B-3A)(x^2+mx+n)
-8x^2+24x-24=(B-3A)(x^2+mx+n)
则B-3A=(-8x^2+24x-24)/(x^2+mx+n)
因为A和B是整式
所以B-3A是整式
B-3A是两个二次式的商，所以是0次的，即是常数
而且因为B-3A是整式
所以是整数
x^2系数的商是-8
所以B-3A=-8
-8x^2+24x-24=-8(x^2+mx+n)
x^2+mx+n=x^2-3x+3
当x=1时,
x^2+mx+n=x^2-3x+3
=1-3+3
=1

设x^2+7xy+ky^2-5x+43y-24=(x+ay+b)(x+cy+d)
(x+ay+b)(x+cy+d)
=x^2+acy^2+(a+c)xy+(b+d)x+(ad+bc)y+bd
=x^2+7xy+ky^2-5x+43y-24

所以
ac=k
a+c=7
b+d=-5
ad+bc=43
bd=-24
解得
a=-2
b=3
c=9
d=-8
k=-18
即x^2+7xy-18y^2-5x+43y-24=(x+9y-8)(x-2y+3)

Answer 2

1.x^4-6x^3+13x^2+kx+4
= (x^2+Ax+B)^2
= x^4+2Ax^3+(A^2+2B)x^2+2ABx+B^2
==> 2A = -6,
A^2+2B = 13,
2AB = k,
B^2 = 4
==> A = -3, B = 2, k = -12

2.X^4+6X^2+25=(X^2+MX+N)*(x^2+AX+B)
由于无X^3和X项所以有A=-M,B=N
所以有2N-M^2=6 N^2=25
解得M=2或-2 N=5
在带入后一个十字的M=2舍去
综合M=-2 N=5
得：x^2+mx+n=1-2+5=4

3.K取-18时；假如可以，
则可以写成(x+ly+m)(x+jy+n)的形式，
将上式展开得：
x平方+(l+j)xy+jl(y平方)+(m+n)x+(jm+ln)y+mn；
将系数对应相等得：l=9,m=-8,j=-2,n=3；
所以原式可化成：(
x+9y-8)(x-2y+3)
所以k=-18

Answer 3

1.解：设x^4-6x^3+13x^2+kx+4
=(x^2-mx+n)^2
=x^4-2mx^3+(m^2+2n)x^2-2mnx+n^2,
对比系数，可知，
2m=6,
n^2=4,
m^2+2n=13,
-2mn=k,
解得：
m=3，
n=2，
k=-12

x^4-6x^3+13x^2+kx+4
=x^4-6x^3+13x^2-12x+4
=(x^2-3x+2)^2

2.因为x^2+mx+n是x^4-3x^2+9的因式
故：x^4-3x^2+9=A(x^2+mx+n)————1式
同理
3x^4-17x^2+24x+3=B(x^2+mx+n)————2式

2式减1式乘以3得；

3x^4-17x^2+24x+3-3x^4+9x^2-27=(B-3A)(x^2+mx+n)

-8x^2+24x-24=(B-3A)(x^2+mx+n)

则：B-3A=(-8x^2+24x-24)/(x^2+mx+n)

因A和B是整式，故B-3A是整式；

B-3A是两个二次式的商，故是0次的，即是常数

而因B-3A是整式，故是整数；

x^2系数的商是-8

故：B-3A=-8

-8x^2+24x-24=-8(x^2+mx+n)

x^2+mx+n=x^2-3x+3

当x=1时,

x^2+mx+n=x^2-3x+3=1-3+3=1

3.设x^2+7xy+ky^2-5x+43y-24=(x+ay+b)(x+cy+d)
则：(x+ay+b)(x+cy+d)
=x^2+acy^2+(a+c)xy+(b+d)x+(ad+bc)y+bd
=x^2+7xy+ky^2-5x+43y-24

故：ac=k ；
a+c=7 ；
b+d=-5 ；
ad+bc=43 ；
bd=-24 ；

解得；a=-2 ；b=3 ；c=9 ；d=-8 ；k=-18；
即x^2+7xy-18y^2-5x+43y-24=(x+9y-8)(x-2y+3)