Question

一道高二数学题（请进！请详细说明！谢谢！）

请问：在正方体中面对角线与体对角线垂直，为什么，请速给我证明，谢谢。

Answer 1

将体对角线分别在各个面上做投影，投影必定是投影面的另一条面对角线，体对角线的顶点和投影点必定是正方体的一条棱，原来的面对角线垂直与体对角线的投影也垂直于上述的棱，所以原来的面对角线垂直于体对角线和其投影线组成的平面，所以面对角线垂直于体对角线。

Answer 2

假设正方体 A1B1C1D1-A2B2C2D2
可以知道 A2C2 垂直 B2D2
另外 可以知道 B1B2 垂直于面 A2B2C2D2，所以 B1B2 垂直于 A2C2
所以 A2C2 垂直于 面 B1D1B2D2，也自然垂直于面内的直线 B1D2

Answer 3

先画一张图（两对角线看上去是垂直的） 将中面对角线与体对角线这4个点连起来可以证明是一个菱形（方法很多种1.可设正方体边长为2a则4边都为根号5a ）证好菱形后就直接说明垂直（菱形对角线互相垂直）

Answer 4

好像不对吧，如果是同一顶点引出的面对角线与体对角线是不垂直的，应该是另一条面对角线

这样的话，证明如下

建立坐标系：原点为任一顶点，该顶点引出的三条棱为x，y，z轴，设棱长为a，则所有顶点的坐标分别为（000）（0a0）（00a）（0aa）（a00）（aa0）（a0a）（aaa）,原点引出的体对角线的方程为
x-a=y-a=z-a
xoy平面中非原点引出的面对角线方程为
x+y=a，z=0
体对角线的方向向量为（1，1，1）
面对角线的方向向量为（1，-1，0）
而空间中直线垂直的条件为方向向量对应分量乘积和为0
而上两向量的相应分量乘积=1*1+1*-1+1*0=0
所以在正方体中面对角线与体对角线（不共顶点）垂直