Question

这道题到底还用凑微分法还是用分部积分法？

题目：∫dy*(1/ylny).
我看到有人用凑微分法，把1/y看作(lny)的导数，然后用公式。但公式明明是∫f（Ψ(x)）Ψ'(x)dx=∫f(Ψ(x))dΨ(x)，也就是说导数的原函数必须是f(Ψ(x))，才能把1/y和lny联系起来。在这里，除了(1/y)*dy，还有一个1/lny.问题是它不是lny、不是导数1/y的原函数，还能用这条公式吗？而且这里存在乘积，为何不用分部积分法？谢谢！

Answer 1

在本题就是
Ψ(y)=lny
f（Ψ(y)）=1/Ψ(y)
有什么问题吗?

追问

问题就是根据公式，如果这题是求dy*(1/y)*lny才可以用上面那条公式，因为1/y是lny的导数，不是1/lny的导数，所以不明白为何这一题也可以使用那一条公式。

追答

你理解错了.公式里是f(Ψ(x)),而你把它理解为Ψ(x)了.

公式中f(Ψ(x))的含义就是凑微分后,剩下的式子是微分里的式子的函数.
即∫1/(lny) d(lny)中1/(lny)是lny的函数(把lny看成一个整体,在这里f(x)的形式就是f(x)=1/x)
所以没有你说的不能用这个公式的问题