Question

如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边AD、BC的中点，G，F分别是对角线BD，AC的中点，当AB，CD满足什么条件

如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边AD、BC的中点，G，F分别是对角线BD，AC的中点，当AB，CD满足什么条件时，有EF⊥GH？

Answer 1

AB=CD

 

∵E，F分别是边AD、BC的中点，G，F分别是对角线BD，AC的中点

∴根据三角形中位线定理：

EG=1/2AB，EH=1/2CD

GF=1/2CD

FH=1/2AB

∵AB=CD

∴EG=EH=GF=FH

∴EGFH是菱形

∴EF⊥GH（菱形对角线相互垂直）

Answer 2

连接EG、GF、FH、EH
∵在△ACD中，E、H分别为AD和AC的中点
∴EH=（1/2）DC（三角形两边的中位线平行且等于第三边的一半）
同理，GF=（1/2）DC；EG=（1/2）AB，HF=（1/2）AB
∴EH=GF，EG=HF
∴四边形EGFH为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
又平行四边形中菱形的对角线互相垂直且平分
∴当AB=CD时，四边形EGFH的四边相等，即为菱形