Question

已知函数f(x)=Asin(3x+φ)(A＞0，x∈-∞，+∞)，0＜φ＜π)在x=π/12时取得最大值4

已知函数f(x)=Asin(3x+φ)(A＞0，x∈-∞，+∞)，0＜φ＜π)在x=π/12时取得最大值4。(1)求f（x）单调增区间 （2）求函数f（x）在[0，π/3]上的值域 谢谢好心人 QAQ

Answer 1

解析：因为函数f(x)=Asin(3x+φ)(A＞0，x∈-∞，+∞)，0＜φ＜π)在x=π/12时取得最大值4
所以，A=4==>f(x)=4sin(3x+φ)
f(π/12)=4sin(π/4+φ)=4==>π/4+φ=π/2==>φ=π/4
f(x)=4sin(3x+π/4)
单调增区间 ：2kπ-π/2<=3x+π/4<=2kπ+π/2==>2kπ/3-π/4<=x<=2kπ/3+π/12 (k∈Z)
在[0，π/3]上的值域
f(0)=4sin(π/4)=2√2
f(π/3)=4sin(π+π/4)=-2√2
在[0，π/3]上的值域为[-2√2,4]

Answer 2

f(x)=Asin(3x+φ)(A＞0，x∈-∞，+∞)，0＜φ＜π)在x=π/12时取得最大值4，
∴A=4，π/4+φ=(2k+1/2)π,k∈Z,取k=0,φ=π/4,
∴f(x)=4sin(3x+π/4),
(1)f(x)的增区间由(2k-1/2)π<3x+π/4<(2k+1/2)π确定，
各减π/4，得(2k-3/4)π<3x<(2k+1/4)π,
各除以3，得(2k/3-1/4)π<x<(2k/3+1/12)π,为所求。
(2)x∈[0,π/3],则u=3x+π/4的值域是[π/4,5π/4],
sinu的值域是[-√2/2,1],
∴f(x)=4sinu的值域是[-2√2,4].