Question

f(x)在[0,1]上连续,定积分f(x)dx=0,证明至少存在一点ξ,使f(1-ξ)=-f(ξ)

定积分【0，1】

Answer 1

设 x=1-t 所以 0<t<1
∫(0,1)f(x)dx=-∫（0，1）f(1-t)dt=0
∫(0,1)f(x)dx +∫（0，1）f(1-x)dx=0
∫(0,1)(f(x)+f(1-x))dx=0
根据定积分的中值定理
∫(0,1)(f(x)+f(1-x))dx=f(e)+f(1-e)=0 其中 0<e<1
所以f(1-e)=-f(e)