Question

当k为何值时,关于x的方程k^2x^2+(3k+1)x+2=0有有理根

求过程，不要复制粘贴的 ，谢

Answer 1

题目不太完整, 缺少对k的限制.
目测要求k是整数, 以下就按这个来做.
如果是别的条件请追问.

首先, 当k = 0时, 方程有有理根x = -2.
以下只考虑k ≠ 0的情况, 此时方程为一元二次方程.
可解得方程的两根为(-(3k+1)±√((3k+1)²-8k²))/(2k²) = (-(3k+1)±√(k²+6k+1))/(2k²).
由k为整数, (-(3k+1)±√(k²+6k+1))/(2k²)是有理数等价于-(3k+1)±√(k²+6k+1)是有理数,
等价于√(k²+6k+1)为有理数, 即k²+6k+1为有理数的平方,
这等价于k²+6k+1是一个整数的平方(一个整数为有理数的平方当且仅当其为整数的平方),
即存在整数m, 使m² = k²+6k+1.

问题化为求关于m, k的不定方程m² = k²+6k+1的整数解.
注意到(k+3)²-m² = k²+6k+9-m² = 8.
问题化为求两个差为8的完全平方数, 经计算知只有9-1 = 8一种可能.
(这是一个经典问题, 所以我就直接写结果了, 需补充请追问).
于是(k+3)² = 9, 解得k = -6 (已限定k ≠ 0).
保险起见可代回验证满足要求.

综上, 使方程有有理根的整数k的可能取值为0, - 6.

Answer 2

有有理根
因此△=(3k+1)^2-4k^2*2是完全平方式
△=(3k+1)^2-4k^2*2=k^2+6k+1
k=0

追问

麻烦写的详细一些呗

追答

就是△可以开方
或者说△=(3k+1)^2-4k^2*2=k^2+6k+1是完全平方式

所以k=0

追问

k^2+6k+1≥0之后为什么k=0

追答

这个也说不上什么，观察出来的k=0
正规的方法应该是
k^2+6k+1=(k+b)^2=k^2+2kb+b^2

(6-2b)k=b^2-1
然后我也感觉到有点复杂