Question

貌似挺怪的一道数列题

为避免出现歧义，下标我会用括号括起来。
数列Xn满足X1=1，且X（n+1)=(Xn+4)/(Xn+1)，n∈N*
试比较Xn与2的大小关系。
需要严格的证明过程。
（参考资料：X2=5/2，X3=13/7，X4=41/20）

Answer 1

因为：X(n+1)-2=(Xn+4)/(Xn+1)-2=(2-Xn)/(Xn+1).
易证 Xn>0 .
所以： 当Xn>2时，X(n+1)-2<0 即 X(n+1)<2.
当Xn<2时，X(n+1)-2>0 即 X(n+1)>2.
当Xn=2时，X(n+1)-2=0 即 X(n+1)=2.
从而 当Xn>2时，X(n+1)<2,X(n+2)>2.
当Xn<2时，X(n+1)>2,X(n+2)<2.
由题意 X1<2 X2>2
故 X(2K-1)<2,X(2K)>2 ,K=1,2,……

Answer 2

对函数y=x+4/x+1画出图像，过点（2，2），
发现>2的x,1<f(x)<2,
>0 ,<2的x,f(x)>2
因此归纳可知，数列在2周围一上一下震荡，奇数小于2，偶数大于2，收敛于2