Question

设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,求a值

具体过程

Answer 1

（1）a=0时，-3x+1≥0，当x=1时，-3x+1=-2<0，所以-3x+1≥0在[-1,1]上不能恒成立 （2）a<0时，f’(x)=3ax^2-3<0,f(x)是减函数，其最小值为f(1). 若对x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立，则需f(1)≥0 即a-3+1≥0 a≥2 又因a<0 所以此时无解. （3）a>0时， f(x)=ax^3-3x+1≥0恒成立，x∈[-1,1]， ①x=0时，1≥0成立 ②0<x≤1时，a≥（3x-1）/(x^3) 令g(x)= （3x-1）/(x^3),求导得g’(x)=（3x^3-(3x-1)3x^2）/(x^6)=(-6x+3)/(x^4) 易知0<x<1/2时函数递增，1/2<x<1时递减， 所以g(x)最大值为g(1/2)=4 ∴a≥4 ③-1≤x<0时，a≤（3x-1）/(x^3) g(x)= （3x-1）/(x^3),求导得g’(x)=(-6x+3)/(x^4) 可知g(x)在-1<x<0时是增函数，其最小值为g(-1)=4 ∴a≤4 由②知a≥4 ∴a=4. 综上知a=4.