Question

请教一个洛必达法则的问题

题目：设f(x)在(-无穷，+无穷)有一阶连续导数，且f(0)=0并存在f''(0),若
x不等于0时：F（x）=f(x)/x x等于0时：F（x)=f'(0),求F'(x),并证明F’（x)在(-无穷，+无穷)连续。
上面题目中求出来当x不等于0时：F'(x)=(f'(x)x-f(x))/(x^2) 当x=0时：
F'（x)=(f''(0))/2.
上面这一步是求出F'(x)得出的结果，接下来要证明“F’（x)在(-无穷，+无穷)连续”这一问的时候，书中的解答说题目中没假设f(x)在x=0领域二阶可导，不可以用洛必达法则来求当x趋近于0时，lim(f'(x)x-f(x))/(x^2)的值。对此我有个疑问：按照我的理解，题目中说了存在f''(0),也就是说f'(x)在x=0可导，那么f'(x)在x=0连续，那么应该存在x=0的一个邻域，使得f'(x)在这个邻域内可导，那么不就可以用洛必达法则了吗？还是说在“f'(x)在x=0可导且f'(x)在x=0连续”这样的条件下还有什么函数在x=0的邻域内是不可导的，如果有的话，能不能举一个例子呢？
麻烦讲的详细一点

Answer 1

f(x)在（负无穷，正无穷）有一阶连续导数，且f(0)=0,存在f’’(0)
定义：
F(x)=f(x)/x,(x不等于0)
F(x)=f’(0),(x等于0)
证明：F’(x)在（负无穷，正无穷）上连续。

你在证明中的疑问：一个函数在一点可导，是否可以推出函数在该点的某个邻域是可导的。

答：这是不一定的。
“题目中说了存在f''(0),也就是说f'(x)在x=0可导，那么f'(x)在x=0连续，那么应该存在x=0的一个邻域，使得f'(x)在这个邻域内可导”。前半部分是对的，对于一元函数来说，函数在一点可导，一定可以推出连续。但在一点连续，并不能推出函数能够在一个邻域也是可导的。
楼上那个例子可行，可以证明问题。我自己也弄了一个反例：
G(x)=-x^2,（x属于无理数）
G(x)=x^2,(x属于有理数)

你可以根据定义证明一下：该函数在点x=0是可导的。
因为：lim(x->0)(G(x)-G(0)/x = 0 =G(0)
但是他没有在这点的某个邻域是可导的。其在除0之外的其他点都不可导。

注意：这种情况在复变函数中却是可以推出来的。

对于题目的证明：
F’(x)=(xf’(x)-f(x))/x^2,x不等于0
F’(x)=f’’(0)/2,x等于0

证明：lim(x->0)F’(x)=F’(0)
不能用罗比达法则，可以这样：
[xf’(x)-xf’(0)+xf’(0)-f(x)]/x^2 加一项减一项，利用题目中f’’(0)存在来求解。

题目有解析答案，不详了。

Answer 2

你的问题可以表述成：如果连续函数在某一点可导，是否一定在某个邻域可导。
这是错的，但反例需要等学到微积分靠后的函数项级数部分时才能构造。那里会证明Weierstrass函数：W(x)=∑{n>=1} (1/2)^n cos(15^n π x)满足条件：有界，处处连续但处处不可导。现在定义f(x)=x*W(x)，则
(1) f(x)处处连续，显然；
(2) f(x)在x=0处可导，因为f(0)=0，而f'(0)=lim{x->0} [f(x)-f(0)]/(x-0)=lim{x->0} f(x)/x=lim{x->0} W(x)=W(0)=1；
(3) f(x)在x≠0处均不可导，否则将得到W(x)=f(x)/x可导，与W(x)的性质矛盾

Answer 3

f''(0)存在，证明f'(0)连续，
但连续不一定可导
比如说分段函数函数
F'(x)=x x大于等于0 F'(x)=-x x小于0
此函数在x=0是连续的，但不可导