Question

如图，梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC

如图，梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC
（1）.，P ,E ,F分别是BC,AC,BD的中点，求证AB=PE+PF
（2） ，如果点P是BC上任意一点，PE//AB,PF//DC,那么AB=PE+PF是否还成立

Answer 1

（1）作梯形的两条高，根据直角三角形的性质和矩形的性质求解；
（2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；
（3）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．解答：

解：（1）如图①，过A、D分别作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，则四边形ADHK是矩形．
∴KH=AD=3．
在Rt△ABK中，AK=AB•sin45°=4 √2• 22=4BK=AB•cos45°=4 √2•√2/2=4．
在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC= 52-42=3．
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10．
（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．
∵MN∥AB，
∴MN∥DG．
∴BG=AD=3．
∴GC=10-3=7．
由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10-2t．
∵DG∥MN，
∴∠NMC=∠DGC．
又∠C=∠C，
∴△MNC∽△GDC．
∴ CN:CD=CM:CG，
即 t/5=10-2t/7．
解得， t=50/17．
（3）分三种情况讨论：
①当NC=MC时，如图③，即t=10-2t，
∴ t=10/3．
②当MN=NC时，如图④，过N作NE⊥MC于E．
∵∠C=∠C，∠DHC=∠NEC=90°，
∴△NEC∽△DHC．
∴ NC:DC=EC:HC，
即 t/5=5-t/3．
∴t= 25/8．
③当MN=MC时，如图⑤，过M作MF⊥CN于F点．FC= 12NC= 12t．
∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，
∴△MFC∽△DHC．
∴ FC:HC=MC:DC，
即 12t/3=10-2t/5，
∴ t=60/17．
综上所述，当t= 10/3、t= 25/8或t= 60/17时，△MNC为等腰三角形．

Answer 2

连接AC,BD再连接FP,EP
∵FP,EP分别△BDC，△abc的中位线
即EP=1／2AB，FP=1／2DC
∵AB=DC
∴EP=FP=1／2AB
∴AB=PE+PF

同一，因为EP平行AB，FP平行DC(根据中位线定理），∴成立