Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴 交于点A(-1，0)和点B(1，0)，直线y=2x-1 与

y轴交于点C，与抛物线交于点C，D.
　　（1）求抛物线的解析式；
　　（2）求点A到直线CD的距离；
　　（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线
CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点
G在y轴正半轴上，当以G，P，Q三点为顶点的
三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的
G点的坐标.

Answer 1

答：
1）
y=2x-1与y轴交点C（0，-1）
设抛物线为y=a(x-1)(x+1)
点C代入得：-a=-1，a=1
所以：y=(x-1)(x+1)
所以：抛物线为y=x^2-1
2）
直线CD为y=2x-1即2x-y-1=0
点A（-1，0）到直线CD的距离d=|-2-0-1|/√(2^2+1^2)=3/√5=3√5 /5
所以：点A到CD的距离为3√5 /5
3）
设抛物线顶点P为（p，2p-1)在直线CD即y=2x-1上

抛物线为：y=(x-p)^2+2p-1
与y=2x-1联立得：y=x^2-2px+p^2+2p-1=2x-1
所以：x^2-2(p+1)x+p^2+2p=0
所以：(x-p)*[x-(p+2)]=0
解得：x=p+2或者x=p
所以：点Q为（p+2，2p+3）在直线CD上
因为：点G（0，g）在y轴的正半轴上，g>0

利用直线垂直，斜率乘积=-1即等腰直角三角形直角边相等的性质；
讨论3种情况即可：PG⊥QG、GP⊥PQ，GQ⊥PQ