Question

如图已知在三角形ABC中，角CAB,角ABC的外角平分线相交于点D。(1)当90°时，角D=___

如图已知在三角形ABC中，角CAB,角ABC的外角平分线相交于点D。(1)当90°时，角D=____
(2)当角C=120°时，角D=____
(3)C=70°时，D=_____

Answer 1

设∠DAB=α ∠DBA=β则
∠CAB=180°-2α ∠CBA=180°-2β
∠C＋∠CAB＋∠CBA=180°
∴∠C＋180°-2α ＋180°-2β=180°
∴∠C＋180°=2﹙α＋β﹚
又α＋β=180°-∠D
∴∠C＋180°=2﹙180°-∠D﹚
∴∠C＋2∠D=180°
∴当∠C=90°时，∠D=45°
当∠C=120°时，∠D=30°
当∠C=70°时，∠D=55°

∠D = 180° -（∠DAB + ∠DBA）---三角形内角和为180°
∠C = 180° - （∠CAB + ∠CBA）---三角形内角和为180°
= 180° - （180° - （∠DAB + ∠DAE）+ 180° - （∠DBA + ∠DBF））; ---平角为180°
其中∠DAB = ∠DAE；∠DBA =∠ DBF ---角平分线分的两角相等
故
∠C = 180° - （180° - 2∠DAB + 180° - 2∠DBA ）
= 180° - （2（180° -（∠DAB + ∠DBA））
= 180° - 2∠D
结论 ：∠C = 180° - 2∠D