Question

怎样用向量方法证明平行四边形对角线互相平分？

Answer 1

证明：已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O。

那么向量AC=向量AB+向量BC，向量BD=向量BC+向量CD，

则向量AC+BD=AB+BC+BC+CD。

又向量AB=向量DC=-向量CD，

那么向量AC+向量BD=2*向量BC。

则向量BC=(1/2)*(向量AB+向量BD)=1/2*向量AB+1/2*向量BD。

又向量BC=向量BO+向量OC，而向量BO与BD共线，向量OC与AC共线。

那么向量BO=m*向量BD，向量OC=n*向量AC。

那么向量BC=向量BO+向量OC=m*向量BD+n*向量AC，所以可得m=1/2，n=1/2。

即可证明平行四边形的对角线互相平分。

扩展资料：

1、向量的运算

对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c(x3,y3)，则向量的运算法则如下。

（1）数量积

对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且a，b之间的夹角为A，

那么a·b=b·a、(λa)·b=λ(a·b)、（a+b)·c=a·c+b·c。a·b=|a|·|b|·cosA

（2）向量的加法

a+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)

（3）向量的减法

a+(-b)=a-b

2、平行四边形性质

（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

参考资料来源：百度百科-向量

参考资料来源：百度百科-平行四边形

Answer 2

设ABCD为平行四边形，其对角线AC与BD相较于O点。
用向量法证明BO=OD, AO=OC.
证：由平时四边形的性质，O点是BD和AC的中点。
向量BO=(1/2)(向量BA+向量BC),
向量DO=(1/2)(向量DA+向量DC).
向量BO+向量DO=(1/2)(向量BA+向量DC+向量DA+向量BC).
=(1/2)(-向量AB+向量DC-向量AD+向量BC).
∵向量AB=向量DC, 向量AD=向量BC,
∴向量BO+向量DO=0(向量）。
又，向量DO=-向量OD.
即， 向量BO-向量OD=0.
∴向量BO=向量OD.
∴|向量BO|=|向量OD|.
∴BO=OD.

同理，可用向量证明：AO=OC.（过程从略）。
即平行四边形的对角线互相平分。