已知a^3+b^3+c^3=a^2+b^2+c^2=a+b+c=1 求证：abc=0
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解：(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3ab^2+3ac^2+3a^2b+3a^2c+3b^2c+3bc^2+6abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+2[(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(a^3+b^3+c^3)]+6abc=1^3=1,代入a^3+b^3+c^3=a^2+b^2+c^2=a+b+c=1 可得：1*1+2(1*1-1)+6abc=1,即：1+2*0+6abc=1，所以abc=0。
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推荐于2016-03-28 · 知道合伙人教育行家
无脚鸟╰(⇀‸↼)╯
知道合伙人教育行家
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现在为上海海事大学学生，在学习上有一定的经验，擅长数学。
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解：
a+b+c=1,
(a+b+c)^2=1
a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1
a^2+b^2+c^2=1,
ab+bc+ca=0
a^3+b^3+c^3=1
1-a^3+1-b^3+1-c^3=2
(1-a)(1+a+a^2)+(1-b)(1+b+b^2)+(1-c)(1+c+c^2)=2
(b+c)(1+a+a^2)+(c+a)(1+b+b^2)+(a+b)(1+c+c^2)=2
2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+ab(a+b)+ca(c+a)+bc(b+c)=2
2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+ab(1-c)+ca(1-b)+bc(1-a)=2
2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+(ab+ca+bc)-3abc=2
代入数值得
2*1+2*0+0-3abc=2
3abc=0
abc=0
a+b+c=1,
(a+b+c)^2=1
a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1
a^2+b^2+c^2=1,
ab+bc+ca=0
a^3+b^3+c^3=1
1-a^3+1-b^3+1-c^3=2
(1-a)(1+a+a^2)+(1-b)(1+b+b^2)+(1-c)(1+c+c^2)=2
(b+c)(1+a+a^2)+(c+a)(1+b+b^2)+(a+b)(1+c+c^2)=2
2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+ab(a+b)+ca(c+a)+bc(b+c)=2
2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+ab(1-c)+ca(1-b)+bc(1-a)=2
2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+(ab+ca+bc)-3abc=2
代入数值得
2*1+2*0+0-3abc=2
3abc=0
abc=0
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