Question

在三角形ABC中，角ABC的对边分别为abc，若向量m=(2,0)与n=(sinB,1-cosB)的夹角为π/3

1、求角B的大小
2、若b=根号3，求a+c的最大值

Answer 1

1.求B的大小。
解：2sinB=2√[sin2B+(1-cosB)2]cos(π/3)=2√（2-2cosB)/2=√（2-2cosB)，即2sinB=√（2-2cosB)，两边平方得4sin2B=2-2cosB，化简为2sin2B=1-cosB,变为2(1-cos2B)=1-cosB,整理为2cos2B-cosB-1=0，cosB=1/4±√(1+8)/4=1/4±3/4,cosB=1不合题意，故取cosB=－1/2,B=120°。
2.若b=√3，求a+c的最大值。
解：直观可知a=c时a+c的值最大。这时A=C=30°，a=c=b/2÷cos30°=√3/2÷√3/2=1,1+1=2。所以a+c的最大值为2。 验证一下吧：由余弦定理得3=a2+c2+ac。令d=a+c,则a=d-c,代入上式得3=(d-c)2+c2+(d-c)c,即3=d2+c2-dc,或c2-dc+d2-3=0。因为c为实数，所以d2-4d2+12≥0，3d2≤12，d2≤4，－2≤d≤2，所以d的最大值为d=2，即a+c的最大值为2。