Question

2010年海南省理科数学12题详解

Answer 1

2010年高考理科数学新课标选择第12题
（12）已知双曲线E的中心为原点，F(3, 0)是的焦点，过F的直线l与双曲线E相交于A、B两点，且AB的中点为N(-12, -15)，则双曲线E的方程式为

解：
由已知条件，交点F在x轴上，可设双曲线的方程为
x^2/a^2-y^2/b^2=1，
因为c=3，所以，a^2+b^2=c^2=9， ……①

设点A、B坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)，
由A、B中点为N(-12, -15)知：
x1+x2=2*(-12)=-24，
y1+y2=2*(-15)=-30， ……②

设直线l的斜率为k，由于F、N都在直线l上，所以
k=(0+15)/(3+12)=1， ……③

A、B两点都在双曲线上，所以
x1^2/a^2-y1^2/b^2=1，
x2^2/a^2-y2^2/b^2=1，
两式相减：(x1^2-x2^2)/a^2-(y1^2-y2^2)/b^2=0，
(x1^2-x2^2)/a^2=(y1^2-y2^2)/b^2，
(x1-x2)(x1+x2)/a^2=(y1-y2)(y1+y2)/b^2，
(x1+x2)/(y1+y2)*b^2/a^2=(y1-y2)/(x1-x2)，
因为A、B在直线l上，所以 (y1-y2)/(x1-x2)=k=1，（结合③式）
故 (x1+x2)/(y1+y2)*b^2/a^2=1，
所以 b^2/a^2=(y1+y2)/(x1+x2)，
结合②式， b^2/a^2=5/4，
结合①式，a^2=4, b^2=5，
故双曲线方程为：x^2/4-y^2/5=1。

Answer 2

给分啊