Question

如图，已知菱形ABCD，对角线AC、BD相较于点O，ON⊥AD,OM⊥BC，OE⊥AB,OF⊥DC，垂足分别为N、M、E、试证明

四边形EMFN为矩形 图在此http://hiphotos.baidu.com/139715824/pic/item/e2b761fe110d245fa9d3112a.jpg

Answer 1

判定四边形是矩形的常用方法有三（我就不说了，所以可以有三种思路

 另：你画的图太过特殊化，画个一般点的给你） 

思路一：利用 一个角是直角的平行四边形是矩形

证明： 

  ∵四边形ABCD是菱形， 

  ∴AD‖BC 

  ∵OM⊥BC，∴OM⊥AD， 

  又∵ON⊥AD，过O只能作一条直线垂直于AD， 

  ∴M、N、O在一条直线上． 

  同理：E、F、O也在同一条直线上． 

  ∵菱形ABCD中，∠1=∠2

  又∵OE⊥AB，ON⊥AD， 

  ∴OE=ON， 

  同理：OE=OM，OM=OF， 

  ∴OE=OF，OM=ON． 

  ∴四边形EMFN是平行四边形（平行四边形判定定理3）． 

  ∵OE=OM=ON， 

  ∴∠OEM=∠OME，∠OMF=∠OFM． 

  ∵∠OEM＋∠OME＋∠OMF＋∠OFM=90°×2， 

  ∴∠OME＋∠OMF=90°，即∠EMF=90°． 

  ∴平行四边形EMFN是矩形，（一个角是直角的平行四边形是矩形） 

 

思路2：利用“对角线相等的平行四边形是矩形”

证明： 

  同思路1可证得四边形EMFN为平行四边形，又∵OE=OM=ON=OF 

  ∴OE＋OF=OM＋ON，即EF=MN． 

  ∴平行四边形EMFN为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 

  思路3：利用“有三个角是直角的四边形”是矩形证明． 

  同思路1可证得∠EMF=90°． 

  同理可证：∠MFN=90°，∠MEN=90°． 

  ∴四边形EMFN为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．