Question

试确定A，B，C的值，使得e^x（1+Bx+Cx^2）=1+Ax+o（x^3），其中o（x^3）是当x→0时比x^3高阶的无穷小．

答案解析是用泰勒公式 把 e^x=1+x+1/4x^2+1/6x^3+o(x^3)代入
为什么整理结果是1+（B+1）x+(1/2+B+C)x^2+(1/6+1/2B+C)x^3+o(x^3)=1+Ax+o(x^3)
代入后还有x^4和x^5的项，为什么舍去了？
您的回答是：因为x^4和x^5是x^3的高阶无穷小量，所以和0（x^3）合并了

但是只有当x→0时x^4和x^5才是x^3的高阶无穷小量，可是等式里并没有取x极限为零

Answer 1

其实，在你使用这个泰勒展开式的时候就已经认可是趋近于O的情形了，这个展开式应该叫做e^x
的麦克劳林展开式。
我想这道题的提干本意应该是使得这个等式在X趋近于0的时候成立，否则这题没意义。

Answer 2

只有x->0是 x^3才可能是无穷小，
其他的x不行

追问

请问，等式整理结果其实还有x^4和x^5，为什么和o(x∧3)合并了

追答

x^4,x^5均是x^3的高阶无穷小呀，所以的高阶无穷小加起来还是高阶无穷小

追问

但等式里也没取x->0呀？我就不明白这个

追答

循环了吧，本题暗含的条件的就是x->0
若x->a 其中a≠0
e^x=1+x+1/4x^2+1/6x^3+o(x^3) 在0处泰勒展开本身就不是收敛的，题根本没法做
正常的泰勒展开应为
e^x=e^a[1+x-a+(x-a)^2/2+(x-a)^3/6+......]

追问

是不是带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式就是x->0 的泰勒展开式

Answer 3

右式的Ax右面是零还是欧
希望对你能有所帮助。