Question

求y=x^1/y的二阶导数

求y=x^1/y的二阶导数

Answer 1

对方程两边求导为：

2x-2yy'=0

y'=x/y

再次求导：

y''=(y-xy')/y^2

=(y-x^2/y)/y^2

=(y^2-x^2)/y^3

=-1/y^3.

扩展资料：

商的导数公式：

(u/v)'=[u*v^(-1)]'

=u' * [v^(-1)] +[v^(-1)]' * u

= u' * [v^(-1)] + (-1)v^(-2)*v' * u

=u'/v - u*v'/(v^2)

通分，易得

(u/v)=(u'v-uv')/v²

常用导数公式：

1、c'=0

2、x^m=mx^(m-1)

3、sinx'=cosx，cosx'=-sinx，tanx'=sec^2x

4、a^x'=a^xlna，e^x'=e^x

5、lnx'=1/x，log(a,x)'=1/(xlna)

6、(f±g)'=f'±g'

7、(fg)'=f'g+fg'

Answer 2

半晌没人做，我再帮帮你。
这个题既是隐函数又是幂指函数，做起来稍微麻烦点。幂指函数求导方法上经常用“对数求导法”，不过这里我用公式做。

一般的，幂指函数的导数是这样的：

[f(x)^g(x)]'=f(x)^g(x)*lnf(x)*g'(x)+g(x)*f(x)^[g(x)-1]*f'(x)
也就是说幂指函数的导数是两项之和，一项是把它看做指数函数求导，另一项是把它当做幂函数求导。

下面用这个公式求本题的一阶导数：
y'=(x^1/y)'
=x^(1/y)*lnx*(1/y)'+(1/y)*x^(1/y-1)
=y*lnx*(-y'/y^2)+x^(1/y)/(xy)
=-y'lnx/y+1/x
从而
y'(1+lnx/y)=1/x
y'=y/[x(lnx+y)]

y''={y'*[x(lnx+y)]-y*[x(lnx+y)]'}/[x(lnx+y)]^2
={y-y*[lnx+y+1+xy')]}/[x(lnx+y)]^2
=-y*[lnx+y+y/(lnx+y)]/[x(lnx+y)]^2
=-y*[(lnx+y)^2+y]/[x^2(lnx+y)^3]

Answer 3

先取对数再求导，会方便很多。
一阶导数：
x^(1/y)*y/(x*(y^2+x^(1/y)*ln(x)))
二阶导数：
-y*(-x^(1/y)*y^3+2*x^(2/y)*y^2+x^(1/y)*y^4+2*y^2*x^(2/y)*ln(x)+x^(3/y)*ln(x)^2)/(x^2*(y^6+3*y^4*x^(1/y)*ln(x)+3*y^2*x^(2/y)*ln(x)^2+ln(x)^3*x^(3/y)))