Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)和圆O:x^2+y^2=b^2,过椭圆上一

点P引圆O的两条切线，切点分别为A,B.设AB与X轴、y轴分别交于点M，N，求证：a^2/ON^2+b^2/OM^2为定值。

Answer 1

若圆的方程为x²+y²=r^2，点m（x0，y0）在圆外，求证点m关于该圆的切点弦所在的直线方程是x0*x+y0*y=r²
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证明：设两个切点为A（x1,y1)、B(x2,y2)
则过A点的切线为 x1x+y1y=r²
过B点的切线为 x2x+y2y=r²
∵两条切线都过点 M（x0,y0)
∴ x1x0+y1y0=r²
x2x0+y2y0=r²
∴点A(x1,y1)、B(x2,y2)都满足方程x0x+y0y=r²
∴直线AB的方程是 x0x+y0y=r²

∴设椭圆上的P点（x0,y0)
则直线AB的方程是 x0x+y0y=b²

令x=0 y=|b²/y0|
令y=0 x=|b²/x0|

∴S=½xy=½b^4/|x0y0|.....①

再由椭圆的参数方程x0=acosα y0=bsinα
x0y0=½absin2α≤½ab

∴带入①得 S≥b³/a