Question

高中函数不等式

已知f(x)=ax^2+bx+c在[0,1]上满足|f(x)|<=1,试求|a|+|b|+|c|的最大值
同问1,2,3L,为什么当且仅当 f(0)=f(1)=1 f(0.5)=-1

Answer 1

这个题嘛，分析下
既然是求最大值，那么一般是边界情况或者平衡情况。。。
也就是也许是在f(0)=f(1)=1 ，那么对称轴f(1/2)=-1 的时候取到
即|f(0)|,|f(1/2)|,|f(1)|都取到1的时候

有了这个猜想，接下去就是根据它来证明了

既然涉及到f(0),f(1/2),f(1)，那么根据多项式的定理，a,,b,c可以由它们唯一确定：
f(0)=c f(1/2)=a/4+b/2+c f(1)=a+b+c
得b=4f(1/2)-3f(0)-f(1)
a=2f(0)-4f(1/2)+2f(1)
那么|a|+|b|+|c|
=|2f(0)-4f(1/2)+2f(1)|+|3f(0)+f(1)-4f(1/2)|+|f(0)|

看到这里，自然想去用绝对值不等式放缩，但是，能否取到等号呢？？
显然没问题，根据绝对值不等式取等条件2f(0)，-4f(1/2)，2f(1)要同号
3f(0),f(1),-4f(1/2)要同号
这跟我们的猜想一致

所以|a|+|b|+|c|
=|2f(0)-4f(1/2)+2f(1)|+|3f(0)+f(1)-4f(1/2)|+|f(0)|
<=|2f(0)|+|4f(1/2)|+|2f(1)|+|3f(0)|+|f(1)|+|4f(1/2)|+|f(0)|
=6|f(0)|+3|f(1)|+8|f(2)|
<=17
这两个等号 是可以同时取到的！！

于是，容易知道当f(x)=8x^2-8x+1 时取到等号
所以最大值为17

回楼主，我可没说当且仅当，事实上是当且仅当f(0)=f(1)=1 f(0.5)=-1
或者f(0)=f(1)=-1 f(0.5)=1 时取到最大值
因为这3个点比较特殊，比如0和1就是边界点了，|f(0)|=1 ,|f(1)|=1
也是|f(x)|<=1中取到最值，再来，1/2是它们的对称点，所以，见我上面的猜想
就显得非常自然，至于证明，我上面已经写得非常清楚。
如果还是看不懂，请补充一下知识：
“绝对值不等式”以及它的取等条件

Answer 2

解：首先|f(0)|=∣c|≤1,|f(1)|=∣a+b+c∣≤1,f(1/2)=∣a/4+b/2+c∣≤1

于是∣b∣=∣4(a/4+b/2+c)-(a+b+c)-3c∣≤∣4(a/4+b/2+c)∣+∣(a+b+c)∣+∣3c∣≤4+1+3=8

∣a∣=∣4(a/4+b/2+c)-2(a+b+c)-2c∣≤
∣4(a/4+b/2+c)∣+∣2(a+b+c)∣+∣2c∣≤4+2+2=8

│a│+│b│+│c│≤8+8+1=17

又当a=8,b=-8,c=1,x∈[0,1]时，f(x)=8x^2-8x+1=8(x-0.5)²-1∈[-1,1],所以│a│+│b│+│c│的最大值为17.

Answer 3

我感觉应该是17 当 a=8 b=-8 c=1的时候。如果a=0 就不用讨论了。肯定求得的不是最大值、成了一个一次函数或者常数函数。不信LZ自己做做。
由不等式得出 -1≤f(x)≤1
然后画图，三种。第一种 单调递增
第2种 单调递减
第3种 不单调，就是对称轴在 给定区间内。由于 a的绝对值越大，开口越小。并且要满足上述不等式。所以 当且仅当 f(0)=f(1)=1 f(0.5)=-1 解得 a=8 b=-8 c=1 然后就有最大值 17.