Question

f(X)=x^2e^ax（a<=0)其中e为自然对数的底数（1）讨论函数的单调性。（2）求函数在区间[0,1]上最大值。

求详细过程

Answer 1

f(x)=x^2e^(ax) (a≤0),
当 a=0 时，f(x)=x^2,
单调减少区间是（-∞，0），单调增加区间是（0，+∞），
函数在区间 [0,1] 上最大值是 f(1)=1.
当 a<0 时，f'(x)=2xe^(ax)+ax^2e^(ax)=x(2+ax)e^(ax),
得驻点 x=0，x=-2/a>0,
f''(x)=(2+2ax)e^(ax)+(2x+ax^2)ae^(ax)=(2+4ax+a^2x^2)e^ax,
f''(0)=2>0, 则 x=0 是极小值点，极小值 f(0)=0;
f''(-2/a)=-2/e^2<0, 则 x=-2/a 是极大值点，极大值 f(-2/a)=4/(e^2a^2).
单调减少区间是（-∞，0)∪((-2/a,+∞），单调增加区间是（0，-2/a），
当 a<-2 时，函数在区间 [0,1] 上最大值是 f(-2/a)=4/(e^2a^2);
当 -2≤a<0 时，函数在区间 [0,1] 上最大值是 f(1)=e^a.