Question

高中数学圆锥曲线问题在线求解。

已知抛物线C：x^2=2py(p＞0）上一点A（m,4)到其焦点的距离为17/4
（1）求p与m的值
（2）设抛物线C上一点p的横坐标为t（t＞0），过p的直线交C于另一点Q，交x轴于M点，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N。若MN是C的切线，求t的最小值。

Answer 1

（一）解：由题设可知，4+(p/2)=17/4,且m²=8p.解得:p=1/2,m=±2.(二）解：易知点P(t,t²).由题意可设直线PQ：y-t²=k(x-t).(k∈R,k≠0).则由题设可得：Q(k-t,(k-t)²),M(t-(t²/k),0),N(t-k-(1/k),(t-k-(1/k))²).过点N的抛物线的切线为:y-[t-k-(1/k)]²=2[t-k-(1/k)]·[x-(t-k-(1/k))].因点N在该切线上，故[t-k-(1/k)]²=2[t-k-(1/k)]·[t-(t²/k)-(y-k-(1/k))].整理得关于k的一元二次方程：k²+tk+1-2t²=0.⊿=t²-4(1-2t²)≥0.===>9t²≥4.===>t²≥4/9.===>|t|≥2/3.因t＞0,故有t≥2/3.即（t)min=2/3.

Answer 2

解：
（1）点A在抛物线上，于是 m^2=8p，
抛物线的准线方程为：y=-p/2，
点A到其焦点的距离与到准线的距离相等，故 4+p/2=17/4，
由上面两个式子可得：p=1/2，m=2。

（2）抛物线方程为y=x^2。P点坐标为P(t, t^2)，设Q(x1, x1^2)、M(m, 0)、N(x2, x2^2)，则x1、x2、t两两不同。

由P、Q、M三点共线得，PM、QM、PQ斜率相等：
t^2/(t-m)=x1^2/(x1-m)=(x1^2-t^2)/(x1-t)=x1+t，
所以，
t^2=(t-m)(x1+t) ……①a
x1^2=(x1-m)(x1+t) ……①b

MQ的斜率为x1^2/(x1-m)，PQ斜率为(x1^2-t^2)/(x1-t)=x1+t，NQ的斜率为(x1^2-x2^2)/(x1-x2)=x1+x2，由MQ⊥NQ得：
x1^2/(x1-m)*(x1+x2)=-1，
即 x1^3+x1+x1^2*x2=m， ……②a
由PQ⊥NQ得：(x1+t)*(x1+x2)=-1， ……②b

对抛物线方程y=x^2求导得：y'=2x，
抛物线上N点的切线的斜率为：2*x2，
直线MN的斜率为：x2^2/(x2-m)，
由于直线MN与抛物线相切，故 x2^2/(x2-m)=2*x2，即，
x2*(2m-x2)=0， ……③
故x2=0或x2=2m。

（I）当x2=0时，由式②b有，(x1+t)*x1=-1，
所以 t=-x1-1/x1，
因为t>0，所以x1<0，则 t=|x1|+1/|x1|≥2*√(|x1|*1/|x1|)=2，
当且仅当x1=-1时，等号成立，此时，由②a知，m=-2。代入①a、①b验证知，这一组t、x1、x2、m的取值符合题意。
故在此种情况下，t的最小值为2。

（II）当x2=2m时，由式②a有，
x1^3+x1+x1^2*2m=m，
解得：m=x1(1+x1^2)/(1-2*x1^2)， ……④
代入①b得：x1^2 = (x1+t)*(x1-x1*(1+x1^2)/(1-2*x1^2))，
解得：t=-1/3*(x1+1/x1)，
把m、t的表达式代入式①a（t^2=(t-m)(x1+t)）验证知，①a两边相等，故这种情况是可能的。
t=-1/3*(x1+1/x1)，因为t>0，所以x1<0，则 t=1/3*(|x1|+1/|x1|)≥2/3*√(|x1|*1/|x1|)=2/2，
当且仅当x1=-1时，等号成立。此时，由④知，m=2，于是x2=4。代入式②b验证，等式成立，故这一组t、x1、x2、m的取值符合题意。
故在此种情况下，t的最小值为2/3。

综上所述，t的最小值为2/3。