Question

已知函数f[x]=-x²-2x-1,请问是否存在正实数t,使得x∈【-1,1】时，f[x]≤tx恒成立？

若存在，求出正实数t的取值范围，若不存在说明理由

Answer 1

Answer 2

f[x]≤tx
-x²-2x-1≤tx x∈【-1,1】
x²+(2+t)x+1≥0
此二次函数开口向上，若在 x∈【-1,1】，恒成立
则 f(1)≥0且f(-1)≥0
1+2+t+1≥0 1-2-t+1≥0
-4≤t≤0
所以不存在正实数

Answer 3

令F(x)=-x²-2x-1-tx
当t=0时，f(x)≤0恒成立
当t≠0时，F(x)=--x²-2x-1-tx=-{[x+(2+t)/2]²-[4-(2+t)²]/4+1}≤0
解得-4≤t≤0
所以t∈[-4,0]